Buzz maths août 2019 et formidable web 2.0

L'article

Etonnant été 2019, pour une fois ce n'est pas un contenu putassier ou complotiste qui fait le buzz mais un petit calcul mathématique parti d'outre atlantique qui arrive devant mes yeux via mon smartphone : https://hitek.fr/42/probleme-mathematiques-toile-internaute_7010

J'y lis : "Mais dernièrement, sur Twitter, une équation a divisé les internautes. Et pour cause, les participants ne parviennent pas à trouver une réponse commune. L'équation est la suivante : 8 / 2 (2 + 2). "

D'emblée je suis agacé, puisque ceci n'est pas une équation, mais un simple enchainement d'opérations, on peut aussi appeler cela une expression numérique ou une suite d'opérations. Je remarque d'ailleurs que parmi les commentaires les plus nazes le mot "équation" est repris ( forcément j'ai envie de dire).

Plus loin dans l'article je lis que cette écriture porte à confusion et que 2 cas sont possibles, et là je suis profondément heurté, puisque ce que j'ai appris et transmets à mes élèves, c'est que les mathématiques sont une langue universelle et que les règles de priorité sont les mêmes dans le monde entier. Mais je leur apprends aussi que tout résultat, toute règle, toute propriété est unique et que "toute affirmation est soit vraie soit fausse et que toute troisième possibilité est à exclure". c'est le principe du tiers exclus d'Aristote , à la base de la logique dite "binaire" et donc des mathématiques élémentaires ( en particulier les éléments d'Euclide). Il faudra attendre le 20ème siècle pour que certains se lancent dans ce qu'on appelle la logique ternaire : une affirmation peut être soit vraie soit fausse soit indécidable. ( gardez cela à l'esprit pour comprendre mon commentaire du point de vue de Cédric Villani un peu plus bas ainsi que la conclusion)

Enfin je suis terriblement agacé par l'acronyme "PEMDAS" qui selon l'auteur de l'article est "un moyen mnémotechnique pour retenir l'ordre des priorités : parenthèses, exposants, multiplications,  divisions, additions, soustractions." Et là, pim je me dis que très vite les lecteurs ( et l'auteur?) vont penser que la multiplication est prioritaire sur la division, et que l'addition est prioritaire sur la soustraction. Or, ce n'est pas le cas la multiplication et la division sont d'égale priorité puisque "diviser c'est multiplier par l'inverse" et de même l'addition et la soustraction sont d'égale priorité puisque "soustraire c'est additionner l'opposé". Lorsque les opérations sont d'égale priorité on effectue de gauche en droite dans le sens de lecture.
Et là, je me prends à pester contre le brillant pédagogue qui a eu l'idée de cet acronyme pour aider les élèves à ne pas apprendre par coeur (pardon pour le gros  mot) des règles de priorité exprimées in extenso dans un véritable cours de maths ( pardon encore des gros mots). Pis encore je me mets à pester contre les brillants pédagogues qui se sont dit que l'idée du brillant pédagogue était une idée géniale et qui se sont empressés de l'imiter. Cela provoque bien sur des erreurs que ne provoqueraient pas l'énoncé des règles in extenso. Voici deux exemples ( mais il y en a plein parmi les commentaires) :

voilà pour l'article. Maintenant, le calcul en lui même.

il vient des USA, c'est de là que le buzz est parti. Or pour les anglo saxons le "slash" représente la division, et donc pour nous ce calcul doit être écrit ainsi : 8 : 2 (2 + 2). J'y reviendrai plus loin car de nombreux internautes dans les commentaires affirment que le slash est un trait de fraction, ce qui est vrai à condition de ne pas violer les règles de priorité. Le quotient de 2 nombres peut être écrit :



revient donc à décider que la division est prioritaire sur la multiplication ou que la multiplication est prioritaire sur la division, ce n'est donc pas une question de "slash" mais une question de priorité des opérations.

Voici un commentaire très intéressant pour illustrer l'incompréhension qui découle de la notation anglo saxonne : 



L'argument de robbix serait valable en écriture fractionnaire : 

Reste à savoir comment fonctionnent les anglo saxons. Finalement en écrivant ceci, cela ébranle mes convictions, au fond les maths ne sont peut-être pas si universelles que cela.... En tout cas l'ambigüité n'existe pas avec l'écriture fractionnaire utilisée en France.

Mais au fait comment les anglo saxons écrivent -ils : deux tiers multiplié par cinq demis ? parce que ici


Pour la deuxième partie du calcul, la multiplication n'est pas écrite ce qui provoque aussi un florilège de réactions et de confusions. Certains affirmant même que le résultat est différent selon que la multiplication est écrite ou non ( on retrouve le même argument sur wikipédia d'ailleurs , voir plus bas). Ce qui viole totalement le principe du tiers exclus cité plus haut. la règle est la suivant "on a le droit de ne pas écrire la multiplication avant ou après une lettre, avant ou après une parenthèse". Mais qu'on l'écrive ou non le résultat devra de toutes façons être le même.
D'aucuns affirment que lorsque la multiplication n'est pas écrite, elle devient prioritaire sur toutes les autres opérations. J'y vois là une conséquence de l'enseignement massif  de technique stéréotypées et automatisées pour les fonctions polynomes, mais c'est oublier que losqu'on écrit 3 + 2x  la multiplication est de toutes façons prioritaire sur l'addition qu'elle soit écrite ou non. 4 années de pratique automatisée de la 3ème à la terminale sur les fonctions polynomes a probablement produit cette idée que 2x est forcément une entité à part entière et que le 2 et le x sont indissociables.

Ainsi de nombreux internautes avancent le fait que dans 8 / 2 (2 + 2) le développement est prioritaire sur la division, ce qui est faux. Encore une fois remplacer 2 (2+2) par 2x2+2x2= 4+4=8 revient à considérer que la multiplication est prioritaire sur la division ce qui est faux.
Il faut noter que la plupart des internautes qui soutiennent cette vision parlent de "factorisation" au lieu de parler de "développement" et l'argument se réplique de commentaire en commentaire avec l'erreur de vocabulaire associée, ce qui, pardon de le dire , décrédibilise totalement la véracité de l'argument. Las, décrédibiliser ne veut pas dire non plus que c'est faux, on peut dire un truc vrai sans le dire de façon crédible, ou sans donner le bon argument pour le justifier.
Par ailleurs, pourquoi aller développer 2 (2+2) alors qu'on peut effectuer ce qui est entre parenthèses pour obtenir 2x4 puis ensuite 8 . Le développement n'a d'intérêt qui si on fait du calcul littéral ou si cela simplifie le calcul comme par exemple pour calculer 19 ( 100 + 1 ) qui sera plus simple à calculer de tête en développant.


                               

On a vu également des internautes prétendre que le résultat pouvait être différent selon la taille de l'espace qui se trouve avant la parenthèse. S'appuyant sur des calculs de très haut niveau avec des SIGMA. Là franchement on s'égare méchamment. Autant "écraser une mouche avec un rouleau compresseur" comme disait le prof de maths que j'ai préféré pendant mes études. Restons au niveau des maths élémentaires niveau collège. Ici il n'y a pas de SIGMA donc pas d'histoire d'espace.



Simplifier le problème pour revenir à la question essentielle

Tout le monde convient que les parenthèses sont prioritaires et que donc 8 / 2 (2 + 2)= 8 / 2 (4) la question est donc de savoir si ici il faut calculer 8 / 2 x 4 ou 8 / (2 x 4)

On va donc retrouver strictement les mêmes arguments que cité précédemment à savoir que si la multiplication n'est pas écrite elle est prioritaire ( farfelu ça, totalement farfelu, problème de l'enseignement répétitif des polynomes)

soit l'écriture permet les 2 interprétations.


Je suis prof et je trouve 16 ! justement introduire des parenthèses supplémentaires revient à considérer qu'ici la multiplication serait prioritaire sur la division

On résume : le "slash" représente la division , "on a le droit de ne pas écrire la multiplication avant ou après une lettre, avant ou après une parenthèse", les parenthèses sont proritaires sur toutes les opérations :

Il ne reste qu'une seule question à trancher 8 : 2 x 4 est-il une écriture ambigüe ou non?

L'argument des machines, de google ou d'autres outils automatiques comme Wolfram Alpha:


Bien évidemment il ne faut pas se satisfaire des résultats donnés par les machines et ne pas oublier qu'on a ici un simple calcul arithmétique niveau collège, les machines sont programmées par des humains et les humains qui programment les machines ne sont pas des mathématiciens puristes, au mieux ils ont un bon niveau en maths appliquées et en maths de l'informatique. Lorsqu'on sort de l'enseignement supérieur les mathématiques élémentaires sont très loins dans la tête et de nombreux automatismes se sont mis en place, il faut quelques années d'expérience professionnelle d'enseignement pour retrouver les fondamentaux et les enseigner autrement que par "c'est évident" ou "c'est comme ça".En tout cas les machines ne donnent pas toutes la même réponse (cf les nombreux commentaires et l'article de wikipédia ci après, elles ne sont donc pas fiables pour trancher)

Par ailleurs, il est très simple de faire planter une machine à calculer : calculez [111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 - 1 ] avec une machine et vous verrez. Ou alors représentez sin(1/x) au voisinage de 0 avec une calculatrice graphique. Les machines sont largement inférieures à l'humain et pour cause, c'est l'humain qui les a fabriquées et programmées.

Même wikipédia tombe dans le piège ( ha ben oui mais en même temps wikipédia est rédigé par des internautes et on peut donc refaire strictement les mêmes remarques) . Et ouais ! Je me la pète , je me crois plus fort que Wikipédia et Villani)


sauf que si on regarde la page wikipédia dont il est question voilà ce qui y est écrit : Wikipédia suggère que l'écriture est effectivement ambigüe et non universelle ( ce que vous l'aurez surement compris je rejette). Mais quel est l'argument donné pour la non universalité de l'expression? " ainsi certaines calculatrices continuent...". Exit donc l'idée que wikipédia est une source fiable pour tancher cete question. Soit dit en passant on peut revenir ici sur cette idée que 2a serait un bloc indissociable, vrai ou faux, en fait peu importe, puisqu'ici il s'agit d'une expression numérique et non littérale. Quand bien même en calcul littéral la convention serait de prioriser dans ce contexte là la multiplication, cela ne s'appliquerait pas au calcul numérique.

Le point de vue de Cédric Villani

Comme tous les petits profs de maths que je suis, j'ai un profond respect pour Villani qui est un mathématicien immense, médaille Field vous pensez bien que je ne lui arrive pas à la cheville, c'est évident. Pourtant cela ne signifie pas qu'il a toujours raison. Je ne partage pas son premier point de vue lorsqu'il lui fut demandé pourquoi les jeunes français avaient autant de difficulté en mathématiques ( classés quasi dernier sur les études comparées entre pays de l'OCDE). En effet il répondit alors qu'il fallait enseigner les maths de façon plus ludique et en faisant davantage appel à des problèmes concrets. Or l'école française des mathématiques était la meilleure du monde il y a 30 ans. ET qu'est ce qui a changé depuis? On a éradiqué l'enseignement de la démonstration. Il reviendra finalement lui aussi à ce constat dans le rapport publié à l'été 2018 sur l'enseignement des maths, mais je m'égare.

Dans les nombreuses pages web ( à vrai dire tous les sites d'actualité ont publié le leur) traitant de ce buzz j'ai vu passer celui-ci

https://www.francetvinfo.fr/societe/education/on-a-demande-a-cedric-villani-de-resoudre-ce-probleme-de-maths-qui-donne-mal-a-la-tete-aux-internautes_3563309.html

Voici ce qu'en dit Cédric Villani : aucun résultat n'est valable. "La bonne réaction n'est pas de donner le résultat, dit Cédric Villani. Mais de dire que l'expression est mal écrite et qu'il faut lever l'ambiguïté en ajoutant des parenthèses par exemple." Bref, "mieux vaut partir en vacances sans se casser la tête sur ce problème qui n'en est pas un...".

Je dois donc bien avouer que là je ne sui spas d'accord avec Villani, ça me chagrine car du coup l'argument d'autorité faisant que je suis tout petit face à lui, risque de faire penser au lecteur que j'ai tort. Pourtant l'ambigüité n'a aucune place en mathématiques du moment qu'on se place dans un contexte de logique binaire. voici ce qu'on pourrait dire en logique ternaire ( surement abondamment pratiquée par notre médaille field).

Alors , monsieur Villani je reprends votre propos et je change le contexte : Je prends une règle de priorité admise de tous, "la multiplication est prioritaire sur l'addition". et alors il s'en suit que 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14. Me direz-vous que l'écriture est ambigüe et qu'il fallait écrire : 2 + (3 x 4) ? Evidemment non, vous ne direz pas cela, la règle de priorité est claire.
Et bien cette règle est tout aussi claire : "Lorsqu'il n'y a que des multiplications et des divisions il faut effectuer les calculs de gauche à droite". Cette règle est-elle vraie ou fausse? Bien sur elle est vraie. Elle est alors vraie sans aucune exception, et s'il existait une seule exception ce serait un contre exemple et alors cette règle serait fausse. Ou alors, ai-je mal compris la valeur du contre exemple en maths pour prouver qu'une affirmation est fausse? Si j'ai tort alors on peut jeter l'axiome du tiers exclus à la poubelle et toute la théorie mathématique avec puisque cet axiome est à la base de toute démonstration mathématique ( du moins toute la partie binaire d'icelle dont l'arithmétique élémentaire fait bel et bien partie).

Conclusion : puisque l'ambigüité n'a pas sa place en logique binaire

8 : 2 x 4 la règle : Lorsque les opérations sont d'égale priorité on effectue de gauche en droite dans le sens de lecture. ici la division est donc prioritaire parce qu'elle est écrite avant la multiplication on obtient donc au final : 4 x 4 = 16

Supra conclusion : formidable Web 2.0

Que l'on suppose que le résultat soit 16 comme je l'ai défendu ou bien que l'on suppose que l'écriture est ambigüe comme le défend Cédric Villani, que penser des internautes qui ont affirmé que le résultat était 1 avec des commentaires "bashing 2.0" ?




Car il faut bien le dire, le web 2.0 est formidable, ça clashe à tous boûts de champ, certains passent même leur temps à aller dire du mal de telle ou telle célébrité ( on les nomme même les haters). formidable web 2.0 dans lequel tout le monde à un avis tranché sur tout, dans lequel tous les avis de vallent. Dans lequel je viens lacher ma crotte sur un commentaire puis je ne reviens jamais voir comment les autres ont contre argumenté, je zappe je regarde un autre article et je lache une autre crotte. Tout le monde vient poser son commentaire et au bout de 24h l'article est devenu de la préhistoire, tout le monde a zappé sur autre chose. A l'heure où j'écris ces mots, tout le monde se contrefiche certainement de savoir si le résultat est 1 ou 16.

Toutes les répliques d'articles parlant de ce calcul répètent les mêmes erreurs : confusion, entre calcul numérique et équation, confusion entre développement et factorisation, confusion entre moyen mnémotechnique et règle mathématique.

Autre problème, celui qui bashe, qu'il ait raison ou tort récolte plus de réactions positives que de réactions négatives ( voir le comm de defboy ci dessus par exemple). Ce côté "je vote" renforce l'illusion que la majorité aurait raison. Pourquoi pas, si ce sont des problèmes ouverts de société ou de politique ou de philosophie, mais pas pour les mathématiques (Galilée si tu me lis :p ).

Il y  a aussi ceux qui assènent sans expliquer, ça aussi c'est très web 2.0

 

Un petit concentré pour la route : PEMDAS+ Calculatrice + bashing + mauvais résultat :D





 

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